2次元空間におけるスパンはほとんどの場合2次元平面上のすべての点になる

2次元空間におけるスパン（Span）

スパン（張る空間）とは、与えられたベクトルたちの「すべての可能な線形結合」が集まって作る空間（点の集合）のことである。2つのベクトル と のスパンは、ベクトル同士の関係性によって以下の 3つのパターン に分類される。

• Pattern 1: 2次元平面上のすべての点（ほとんどの場合）

  • 条件: と が異なる方向を向いている（同一直線上にない）場合。
  • 💡 具体例: のとき。

• 係数 を自由に選ぶことで、 という2次元平面上のあらゆる座標を作り出すことができる。

• （2次元空間全体）

• Pattern 2: 1本の直線

  • 条件: と が同じ方向、または真逆の方向を向いている（片方がもう片方のスカラー倍である）場合。

  • 💡 具体例: のとき。

    • であるため、どのように線形結合しても となり、常に の整数・実数倍にしかならない。

    • 結果として、原点を通る直線 の上しか移動できず、平面に広がらない。

• Pattern 3: 原点（）のみ

  • 条件: も もゼロベクトル（）である場合。

  • 💡 具体例: のとき。

    • となり、どんなスカラーを掛けても原点から一歩も動けない。